Kaj je Fermi Dirac Distribution? Diagram energijskega pasu in Boltzmannova aproksimacija

Elektroni in luknje igrajo bistveno vlogo pri prenosu električne energije v Ljubljani polprevodniki . Ti delci so v polprevodniku razporejeni na drugačni energijski ravni. Gibanje elektronov z ene ravni energije na drugo proizvaja elektriko . Elektron v kovini bi moral imeti raven energije, ki je vsaj večja od energije površinske pregrade, da bi lahko ušla na višjo raven energije.

Predlaganih in sprejetih je bilo veliko tez, ki so razlagale značilnosti in obnašanje elektronov. Toda nekatera vedenja elektronov, kot je neodvisnost emisijskega toka od temperature itd., So še vedno ostala skrivnost. Nato preboj statistika, Statistika Fermi Dirac , založnik Enrico Fermi in Paul Dirac leta 1926 pomagal rešiti te uganke.

Od takrat naprej Porazdelitev Fermi Dirac se uporablja za razlago kolapsa zvezde belemu palčku, za razlago emisije prostih elektronov iz kovin itd.

Porazdelitev Fermi Dirac

Pred vstopom v Fermi Dirac Porazdelitvena funkcija poglejmo energije porazdelitev elektronov v različnih vrstah polprevodnikov. Največja energija prostega elektrona ima lahko material v absolutni temperaturi, tj. pri 0k je znan kot Fermijev nivo energije. Vrednost Fermijeve energije se za različne materiale razlikuje. Na podlagi energije, ki jo imajo elektroni v polprevodniku, so elektroni razporejeni v tri energijske pasove - prevodnost, Fermijev nivo energije, pas Valency.

Medtem ko prevodni pas vsebuje vzbujene elektrone, valentni pas vsebuje luknje. Toda čemu je namenjena raven Fermi? Fermijev nivo je energijsko stanje, pri katerem obstaja verjetnost ½, da ga zasede elektron. Preprosto povedano, to je največja raven energije, ki jo ima lahko elektron pri 0k, in verjetnost, da najdemo elektron nad to ravnjo pri absolutni temperaturi, je 0. Pri absolutni ničli temperaturi bo polovica Fermijeve ravni napolnjena z elektroni.

V diagramu energijskega pasu polprevodnika leži Fermijev nivo v prevodnem in valentnem pasu za notranji polprevodnik. Za zunanji polprevodnik je Fermijev nivo blizu valenčnega pasu v Polprevodnik tipa P in za Polprevodnik tipa N , leži blizu prevodnega pasu.

Fermijeva raven energije je označena z JE_F, prevodni pas je označen kot JE_C valentni pas pa označimo z E_V.

Fermijev nivo v vrstah N in P

Fermijev nivo v polprevodnikih tipa N in P

Fermi Dirac porazdelitvena funkcija

Verjetnost, da bo razpoložljivo energijsko stanje 'E' zasedel elektron pri absolutni temperaturi T v pogojih toplotnega ravnovesja, daje Fermi-Diracova funkcija. Iz kvantne fizike je Fermi-Diracov izraz porazdelitve

Kje je k Boltzmannova konstanta v ^ALITO , T je temperatura v ⁰TO in JE_F je Fermijev nivo energije v eV.k = 1,38X10^{-2. 3}J / K

Fermijev nivo predstavlja energijsko stanje s 50-odstotno verjetnostjo, da se napolni, če ne obstaja prepovedan pas, tj. Če E = E_F potem f (E) = 1/2 za katero koli vrednost temperature.

Fermi-Diracova porazdelitev samo daje verjetnost zasedenosti stanja na določeni energijski ravni, vendar ne zagotavlja nobenih informacij o številu držav, ki so na voljo na tej energijski ravni.

Fermi Dirac-ov diagram porazdelitve in diagram energijskega pasu

f (E) Vs (E-E_F) ploskev

Zgornja slika prikazuje obnašanje Fermijeve ravni pri različnih temperaturnih območjih T = 0⁰K, T = 300⁰K, T = 2500⁰TO. Ob T = 0K , krivulja ima koračne značilnosti.

Ob T = 0⁰TO , skupno število energijskih ravni, ki jih zasedajo elektroni, je mogoče poznati s pomočjo Fermi-Dirac-ove funkcije.

Za določeno raven energije E> E_F , eksponentni člen v Fermi-Diračevi funkciji postane 0 in kar pomeni, da je verjetnost iskanja zasedene ravni energije večja od JE_F je nič.

Za določeno raven energije JEF katerega vrednost pomeni, da so vsi nivoji energije z energijo manjši od nivoja Fermija E_Fbo zaseden ob T = 0⁰TO . To kaže, da je Fermijev nivo energije največja energija, ki jo ima lahko elektron pri absolutni ničli temperaturi.

Za temperaturo, višjo od absolutne temperature in E = E_F , potem neodvisno od vrednosti temperature.

Za temperaturo, višjo od absolutne temperature in JEF , potem bo eksponent negativen. f (E) začne pri 0,5 in se nagiba k povečanju proti 1, ko E pada.

Za temperaturo, višjo od absolutne temperature in E> E_F bo eksponencial pozitiven in se bo povečeval z E. f (E) se začne od 0,5 in se z naraščanjem E ponavadi zmanjšuje proti 0.

Fermi Dirac Porazdelitev Boltzmanna Približevanje

Pogosto se uporablja Maxwell-Boltzmannova porazdelitev Približevanje porazdelitve Fermi Dirac .

Fermi-Diracovo porazdelitev podaja

Avtor z uporabo Maxwella - Boltzmannov približek se zgornja enačba zmanjša na

Kadar je razlika med nosilčevo energijo in nivojem Fermija velika v primerjavi z izrazom 1 v imenovalcu, lahko zanemarimo. Za uporabo Fermi-Diracove porazdelitve mora elektron slediti Paulijevemu izključnemu principu, ki je pomemben pri visokem dopingu. Toda Maxwell-Boltzmannova porazdelitev to načelo zanemarja, zato je Maxwell-Boltzmannov približek omejen na nizko dopirane primere.

Fermi Dirac in Bose-Einsteinova statistika

Fermi-Diracova statistika je veja kvantne statistike, ki opisuje porazdelitev delcev v energetskih stanjih, ki vsebuje enake delce, ki upoštevajo Paulijev princip izključitve. Ker se statistika F-D uporablja za delce s polcelim spinom, se ti imenujejo fermioni.

Sistem, ki ga sestavljajo termodinamično v ravnovesju in enaki delci, v enojnem stanju I povprečno število fermionov dobimo z F-D porazdelitvijo kot

kje je enočlensko stanje jaz , skupni kemijski potencial je označen z, do_B je Boltzmannova konstanta, medtem ko T je absolutna temperatura.

Bose-Einsteinova statistika je nasprotje statistike F-D. To velja za delce s celoštevilnim vrtenjem ali brez njega, imenovane Bosons. Ti delci ne upoštevajo Paulijevega načela izključitve, kar pomeni, da lahko isto kvantno konfiguracijo napolnimo z več kot enim bozonom.

Statistični podatki F-D in Bore-Einsteinovi statistiki se uporabljajo, kadar je kvantni učinek pomemben in se delci ne razlikujejo.

Fermi Diracov problem porazdelitve

V trdnem primeru upoštevajte raven energije, ki leži 0,11eV pod Fermijevo ravnjo. Poiščite verjetnost, da te ravni elektron ne zasede?

Fermi Diracov problem porazdelitve

Tu gre za vse Porazdelitev Fermi Dirac . Na koncu iz zgornjih informacij lahko sklepamo, da je mogoče makroskopske lastnosti sistema izračunati s pomočjo Fermi-Dirac-ove funkcije. Uporablja se za poznavanje Fermijeve energije tako pri ničelni kot pri končni temperaturi. Odgovorimo na vprašanje brez kakršnih koli izračunov, ki temeljijo na našem razumevanju Fermi-Diracove porazdelitve. Ali se krivulja Fermijeve porazdelitve za nivo energije E, ki je 0,25e.V pod Fermijevo ravnjo in temperaturo nad absolutno temperaturo, zmanjša proti 0 ali poveča proti 1?