Kaj je Laplaceova preobrazba? Formula, lastnosti, pogoji in uporaba

Preizkusite Naš Instrument Za Odpravo Težav





Matematika ima odločilno vlogo pri razumevanju vedenja in dela električni in elektronski sistemi . Polinomi, algebra, verjetnost, integracije in diferenciacije itd. Tvorijo pomemben del orodij, ki se uporabljajo za reševanje sistemov. Z naraščajočo kompleksnostjo sistemov so potrebne zelo dovršene metode. Diferencialne enačbe se vidno uporabljajo za definiranje krmilnih sistemov. Te enačbe je enostavno rešiti. Toda zapletenost nastane med reševanjem diferencialnih enačb višjega reda. Za reševanje tako zapletenih diferencialnih enačb višjega reda je matematična metoda, ki se je izkazala za učinkovito Laplaceova preobrazba . Ker se ta preobrazba pogosto uporablja, je koristno vedeti, čemu so v resnici namenjeni in kako delujejo.

Kaj je Laplaceova preobrazba?

V matematiki se transformacije uporabljajo za pretvorbo spremenljivke iz ene oblike v drugo, da je enačba enostavna za uporabo. Laplaceova preobrazba v bistvu počne isto. Diferencialno enačbo višjega reda pretvorijo v polinomsko obliko, ki je veliko enostavnejša od neposrednega reševanja diferencialne enačbe.




Obstajajo pa različne transformacije, kot je Fourierjeva transformacija, transformacije z, zaradi česar je Laplaceova transformacija posebna? Glavna prednost Laplasove transformacije je, da so opredeljene tako za stabilne kot nestabilne sisteme, medtem ko so Fourierjeve transformacije opredeljene samo za stabilne sisteme.

Laplaceova formula za preoblikovanje

Laplasova transformacija funkcije f (t) v časovni domeni, kjer je t realno število, večje ali enako nič, je podana kot F (s), kjer obstaja s je kompleksno število v frekvenčnem področju. s = σ + jω
Zgornja enačba se šteje kot enostransko Enačba Laplaceove transformacije . Ko se meje razširijo na celotno realno os, potem Dvostranska Laplasova transformacija lahko definiramo kot
V praktičnih vezjih, kot je RC in RL vezja običajno se uporabljajo začetni pogoji, zato se za analizo uporabljajo enostranske Laplasove transformacije.
Kot s = σ + jω, ko je σ = 0 Laplaceova transformacija deluje kot Fourierjeva transformacija.



Laplaceove transformacijske formule

Laplaceove transformacijske formule

Pogoji za uporabnost Laplaceove transformacije

Laplasove transformacije imenujemo integralne transformacije, zato obstajajo potrebni pogoji za konvergenco teh transformacij.
t.j.f mora biti lokalno integriran za interval [0, ∞) in odvisno od tega, ali je σ pozitiven ali negativen, lahko e ^ (- σt) propada ali raste. Za dvostranske Laplasove transformacije namesto ene same vrednosti se integral konvergira v določenem obsegu vrednosti, znanem kot konvergenčna regija.

Lastnosti Laplaceove transformacije:

Linearnost

Linearnost

Linearnost

Premikanje časa

Premikanje časa

Premikanje časa

Premik v S-domeni

Premik v S-domeni

Premik v S-domeni

Preobrat časa

Preobrat časa

Preobrat časa

Diferenciacija v S-domeni

Diferenciacija v S-domeni

Diferenciacija v S-domeni

Konvolucija v času

Konvolucija v času

Konvolucija v času

Teorem začetne vrednosti

Izrek o začetni vrednosti se uporablja, kadar je pri Laplaceovi transformaciji stopnja števca manjša od stopnje imenovalca Teorem končne vrednosti:


Če vsi polovi sF (s) ležijo v levi polovici izreka končne vrednosti ravnine S.

Inverzna Laplasova transformacija

Zaradi konvergenčne značilnosti imajo Laplasove transformacije tudi inverzno transformacijo. Laplaceove transformacije kažejo preslikavo ena na ena iz enega funkcijskega prostora v drugega. Formula za inverzno Laplasovo transformacijo je

Kako izračunati Laplasovo transformacijo?

Laplasova transformacija poenostavi enačbe. Ko je podana diferencialna enačba višjega reda, se nanjo uporabi Laplaceova transformacija, ki enačbo pretvori v algebrsko enačbo in s tem olajša rokovanje. Nato izračunamo korenine s poenostavitvijo te algebarske enačbe. Zdaj je najdena inverzna Laplasova transformacija preprostejšega izraza, ki rešuje dano diferencialno enačbo višjega reda.

Laplaceov izračun transformacije

Laplaceov izračun transformacije

Aplikacije Laplaceove transformacije

  • Analiza električnih in elektronska vezja .
  • Razčlenitev kompleksnih diferencialnih enačb na enostavnejše polinomske oblike.
  • Laplasova transformacija daje informacije o stabilnih in prehodnih stanjih.
  • Pri strojnem učenju se Laplasova transformacija uporablja za napovedovanje in analizo pri podatkovnem rudarjenju.
  • Laplaceova transformacija poenostavlja izračune pri modeliranju sistema.

Uporaba Laplaceove transformacije pri obdelavi signalov

Laplasove transformacije se pogosto odločijo za obdelavo signalov. Skupaj s Fourierjevo preobrazbo je Laplasova transformacija se uporablja za preučevanje signalov v frekvenčnem področju. Kadar so v frekvenčnem območju v frekvenci majhne frekvence, lahko pričakujemo, da bo signal v časovni domeni gladek. Filtriranje signala običajno poteka v frekvenčni domeni, za katero Laplace deluje kot pomembno orodje za pretvorbo signala iz časovne domene v frekvenčno domeno.

Uporaba Laplaceove transformacije v krmilnih sistemih

Nadzorni sistemi so običajno zasnovani za nadzor vedenja drugih naprav. Primer nadzorni sistemi lahko sega od preprostega regulatorja ogrevanja stanovanja do industrijskega nadzornega sistema, ki uravnava vedenje strojev.

Na splošno nadzorni inženirji uporabljajo diferencialne enačbe za opis vedenja različnih funkcionalnih blokov z zaprto zanko. Tu se za reševanje teh enačb uporablja Laplasova transformacija brez izgube ključnih informacij o spremenljivkah.

Karakterizacija linearnih časovno nespremenljivih sistemov z uporabo Laplaceove transformacije

Za naključni sistemski sistem ROC, povezan s sistemom, je funkcija desna polovica ravnine. Sistem je neobčasen, če je njegov impulzni odziv h (t) = 0 za t> 0.

Če ROC sistemskih funkcij H (s) vključuje os jω, potem L.T.I. sistem se imenuje stabilen sistem. Če ima priložnostni sistem z racionalnimi sistemskimi funkcijami H (s) negativne realne dele za vse svoje polove, potem je sistem stabilen.

Tako je Laplaceova transformacija ključno orodje pri analiziranju vezij. Lahko rečemo, da je stetoskop zdravniku Laplaceova transformacija nadzornemu inženirju. V čem se po vašem mnenju spreminja Laplaceova? Na kakšen način so vam bili v pomoč?